Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Buna ziua, Ajutati-ma, va rog cu rezolvarea exercitiului. Multumesc!
Un sir de numere naturale are termenii asezati in ordine crescatoare sub forma unui triunghi ca mai jos:
1
4 7 10
13 16 19 22 25
28 31 34 37 40 43 46
49 52 55 58 61 64 67 70 73
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
Se observă că fiecare termen al șirului se obține adunând 3 la termenul anterior.
primul termen: 1
al doilea termen: 1+3=4
al treilea termen:1+3+3=1+2*3=1+6=7
al patrulea termen:1+3+3+3=1+3*3=1+9=10
și așa mai departe…
al n-lea termen: 1+(n-1)*3
De asemenea, se mai observă că fiecare rând al triunghiului are cu două numere în plus față de cel dinainte
primul rând: 1 termen
al doilea rând: 1+2= 3 termeni
al treilea rând: 1+2+2=1+2*2=5 termeni
al patrulea rând: 1+2+2+2=1+3*2=7 termeni
și așa mai departe…
al n-lea rând: 1+(n-1)*2 termeni
Cu ce numar incepe linia 71 ?
Eu zic să vedem mai întâi câte elemente se găsesc pe rândurile anterioare.
Pe rândul 70 avem (conform formulei găsite: al n-lea rând: 1+(n-1)*2 termeni): 1+69*2 termeni, adică 1+138=139. Atunci, numărul tuturor termenilor anteriori, de pe toate rândurile anterioare este: n=1+3+5+…+139
Rezolvăm cu Gauss: n=1+3+5+…+139
n=139+137+…+1
adunăm cele două relații termen cu termen și obținem
2n=140+140+…+140
140 se repetă de (139-1):2+1=70 (ultimul termen-primul termen) împărțit la pas (merge din doi în doi) + 1. Știam deja că e 70, dar… așa se calculează.
deci: 2n=140*70
2n=9800
n=9800/2
deci n=4900
Deci primul termen de pe rândul 71 este termenul al 4901-lea și, conform primei formule găsite
al n-lea termen = 1+(n-1)*3
al 4901-lea termen = 1 + 4900*3=14701
am obosit :). mai revin.
2. Să se determine numarul situat in mijlocul liniei 71 ?
am văzut că pe rândul 70 sunt 139 de termeni.
atunci, pe rândul 71 vor fi 139+2=141 termeni.
termenul de la mijloc va fi în poziția 140:2+1=71.
în șirul general, știind că pe primele 70 de rânduri avem 4900 de termeni, atunci, elementul căutat va fi al 4900+71, deci al 4971-lea.
cu prima formulă avem:
al 4971-lea termen=1+4970*3=14911.
mai iau o pauză…
3. Sa se determine linia pe care se gaseste numarul 2020.
din prima formulă: al n-lea termen: 1+(n-1)*3, putem afla al câtelea termen este numărul 2020.
1+(n-1)*3=2020
(n-1)*3=2020-1
(n-1)*3=2019
n-1=2019:3
n-1=673
n=673+1
n=674
deci e al 674-lea element
acum trebuie să aflăm pe ce rând se află.
am văzut deja că numărul tuturor termenilor anteriori, de pe toate rândurile anterioare este: s=1+3+5+…+n
de aici nu mai merge cu materie de clasele I-IV (de parcă până acum a mers…)
am găsit pe net formula 1+3+5+…+2n-1=n2
deci trebuie să găsim între ce pătrate perfecte se găseşte 674.
păi 252 = 625, iar 262=676.
deci, pe primele 25 de rânduri se găsesc 625 de termeni, iar ultimul termen de pe rândul 26 este al 676-lea. Atunci, al 674-lea se găseşte pe rândul 26.
Doamne-ajută!
Multumesc!!
cu plăcere. scz că n-am zis de ieri.