Aratati ca, pentru orice nr. natural n, n mai mic sau egal cu 2 , numarul n^4 + 4 este compus
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Aratati ca, pentru orice nr. natural n, n mai mic sau egal cu 2 , numarul n^4 + 4 este compus
Completam patratul:n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-4n^2=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)
.
Aceasta forma finala este un caz particular al identitatii lui Sophie Germain(https://en.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain#Honors_in_number_theory). Deoarece n^4+4 se scrie ca produs de 2 factori, acesta poate fi prim doar daca unul dintre factori este 1(ceea ce este necesar pentru ca n^4+4 sa fie prim, dar nu suficient).
n^2-2n+2=1
n^2-2n+1=0
(n-1)^2=0
n-1=0
n=1
Pt n=1, n^4+4=5, care este prim.
Similar, din n^2+2n+2=1 obtinem -1, n^4+4 fiind din nou 5, numar prim.
Deci n^4+4 este numar compus pentru
Înainte de toate, trebuie să stabilim în ce mulțime lucrăm.
Din condiția n să fie natural și mai mic sau egal decât 2 => n={0, 1, 2}.
Acum, trebuie arătat că pentru orice n din mulțimea menționată, numărul n^4+4 este compus.
Un număr compus este un număr întreg pozitiv care are mai mulți divizori decât 1 și el însuși(mai pe scurt, toate numerele neprime sunt compuse).
Așadar, pentru n=0 => 0^4+4=4 care este un număr compus(este întreg și îi are ca divizori pe 1, 2 și 4).
Pentru n=1 => 1^4+4=5 (acest număr nu se mai poate numi compus, deoarece are ca divizori doar pe 1 și el însuși)
Pentru n=2 => 2^4+4=20(este compus, având ca divizori pe 1, 2, 4, 5, 10,20).
În concluzie, doar 2 numere din această mulțime s-au dovedit a fi compuse, ori cerința cerând să arătăm că toate aceste numere trebuie să fie compuse nu poate fi vorba decât despre o eroare în cerință.
Enuntul este intr-adevar gresit. Imi imaginez ca in original, n era mai mare sau egal cu 2. n^4+4 este compus pentru orice n din Z, in afara de -1 si 1. Am scris un raspuns care demonstreaza acest lucru, dar inca nu a fost acceptat.