Home/ Intrebari/Q 87130
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

marianstefi20
Pe: 2014-07-15T12:53:46+03:00

Problema UTC ecuatia polinomiala

Buna ziua!
Ma chinui de ceva vreme cu o problema din cartea de admitere dar nu ajung la vreun rezultat concret.

Ecuatia x^8-mx^4+m^4=0, cu necunoscuta x si parametrul real m, are patru radacini reale distincte care sunt in progresie aritmetica, daca:
A. m>=1 B.m=-9/80 C.m=9/82 D.m=9/80 E. m=1/2
Raspunsul corect este C.

Ma gandisem sa fac o substitie x^4=t si obtineam doar ca m trebuie sa fie intre [-1/2,1/2]. In alta situatie urmarind acest argument trebuia ca m>0. Totusi, aceasta abordare nu imi ofera un rezultat concret.

1 raspuns

  1. grapefruit
    maestru (V)

    Folosim substitutia x^4=t.Ecuatia devine t^2-mt+m^4=0.Fie t_1 si t_2 radacinile acestei ecuatii de gradul 2,ecuatia x^4=t_1 are cel mult mult 2 radacini reale atunci cand t_1 este real si pozitiv,acestea sunt+-\sqrt[4]{t_1}.Pentru ca ecuatia in x sa aiba 4 radacini reale trebuie ca t1 si t2 >0,iar daca t_1<t_2 ,progresia va fi -\sqrt[4]{t_2},-\sqrt[4]{t_1},\sqrt[4]{t_1},\sqrt[4]{t_2}.
    Asta inseamna ca \sqrt[4]{t_2}-\sqrt[4]{t_1}=\sqrt[4]{t_1}+\sqrt[4]{t_1}\Rightarrow \sqrt[4]{t_2}=3\sqrt[4]{t_1}\Rightarrow t_2=81t_1.
    La acesta relatie ,obtinuta cu foarte multa munca,adaugam relatiile lui Viete pentru ecuatia in t.
    t_1+t_2=m\Rightarrow 82t_2=m\Rightarrow t_1=\frac{m}{82}
    t_1\cdot t_2=m^4\Rightarrow 81t_1^2=m^4\Rightarrow 81\cdot \frac{m^2}{82^2}=m^4\Rightarrow m^2=\frac{81}{82^2}\Rightarrow m=\frac{9}{82}.Varianta cu minus nu convine pentru ca am stabilit ca trebuie ca t_1 si t_2 sa fie pozitive ,asta inseamna ca si suma lor este pozitiva ,dar suma lor este m care trebuie sa fie deasemenea pozitiv.

Raspunde

Raspunde