Home/ Intrebari/Q 64218
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

laurentiu2007
Pe: 2007-10-25T17:56:11+03:00

help din nou la o problema cu matrice

Se considera matricele patratice, nxn, cu elemente numere intregi,

    \[A_1 ,A_2 ,...A_k\]

astfel incat:

    \[ \sum\limits_{\sigma \in S_k }^{} {A_{\sigma \left( 1 \right)} A_{\sigma \left( 2 \right)} ...A_{\sigma \left( k \right)} } = I_n \]

,
unde

    \[S_k\]

reprezinta multimea permutarilor de k elemente.
Sa se demonstreze ca n este divizibil cu k!.
Generalizare.

2 raspunsuri

  1. ex-admin
    profesor

    Vom folosi notiunea de „urma” a unei matrice.

    Fie

    A = \sum\limits_{\sigma \in S_k }^{} {A_{\sigma \left( 1 \right)} A_{\sigma \left( 2 \right)} ...A_{\sigma \left( k \right)} } = I_n

    Folosind proiprietatile urmei:
    tr\left( {A + B} \right) = tr\left( A \right) + tr\left( B \right) si tr\left( {AB} \right) = tr\left( {BA} \right), obtinem:

    tr\left( A \right) = \sum\limits_{\sigma \in S_k } {tr\left( {A_{\sigma \left( 1 \right)} A_{\sigma \left( 2 \right)} ...A_{\sigma \left( k \right)} } \right)} = k! \cdot tr\left( {A_1 A_2 ...A_k } \right) .
    (Am tinut seama si de faptul ca S_k are k! elemente).

    Notand m = tr\left( {A_1 A_2 ...A_k } \right) \in Z si tinanad seama si de faptul ca tr\left( {I_n } \right) = n, rezulta ca:

    m \cdot k! = n \Rightarrow n\; \vdots \;k! .

  2. laurentiu2007

    Multumesc mult pentru rezolvare.

Raspunde

Raspunde